НАУКА	Бр.9 /септември 2004

К. Шриниваса Рао

 Животът и трудовете на математическия магьосник

Шриниваса Раманужан

продължение от брой 8

     По време на петгодишния си престой в Кеймбридж Раманужан публикувал 21 статии, съдържащи теореми по определени интеграли, модулярни уравнения, зета-функция на Риман, безкрайни редове, сумиране на редове, аналитична теория на числата, асимптотични формули, модулярни функции и комбинаторен анализ. Статията му, озаглавена "Сложносъставни числа" (Highly Composite Numbers), която се появила в Journal of the London Mathematical Society през 1915, е дълга 62 страници и съдържа 269 уравнения. Това е най-дългата му статия. Лондонското математическо дружество имало някои финансови затруднения по онова време и Раманужан трябвало да намали дължината на статията си, за да се намалят разходите по печатането. Пет от тези 21 статии били написани в съавторство с Харди. Раманужан написал също 5 кратки съобщения в сборниците с доклади на Лондонското математическо дружество и още шест за списанието на Индийското математическо дружество.

     Той получил бакалавърска степен през март 1916 за своята работа по сложносъсставни числа, за които написал дълга статия. Дисертацията му носела същото заглавие и се включвала още шест други работи. Раманужан бил регистриран като студент през юни 1914 и изискването за диплома или сертификат, както и изискването за 6 семестъра в университета са били смекчени в този изключителен случай. За съжаление в архивите на университета не е намерено копие от тази дисертация [43]. Според Харди [44] това била "много необикновена работа, стояща встрани от главнитe течения в математиката. Но не може да има съмнение в изключителния усет и находчивост, които са проявени в нея, нито съмнение в това, че този мемоар е един от най-забележителните, публикувани в Англия в продължение на много години."

     Назначеният ръководител на Раманужан, който следял неговото развитие в Тринити Колидж, бил Е.У.Бърнс, който смятал Раманужан за най-блестящия измежду студентите в Кеймбридж, в това число Литълууд[45]. Харди бил много удовлетворен от прогреса на Раманужан и писал в този дух на Университета в Мадрас в подкрепа на удължаването на двугодишната стипендия на Раманужан, "докато, както се надявам, бъде избран за член на преподавателското тяло. Такъв избор аз очаквам през октомври 1917." През юни 1916 в официалния си доклад до регистратора на университета за работата на Раманужан в Англия той пише: "Вече мога спокойно да кажа, че Раманужан оправда напълно всички надежди, които му се възлагаха въз основа на работата му в Индия и показа, че притежава способност, по-големи от тези на който и да е от живите математици.   .....  Според мен казах достатъчно, за да дам някаква представа за удивителните му индивидуалност и способности. Индия даде много талантливи математици през последните години, голяма част от които дойдоха в Кеймбридж и получиха високо академично признание. Те бяха първите, които признаха, че работата на мистър Раманужан е на много по-високо ниво".

     Въпреки бушуващата война, която лишила Раманужан от централното място, което той би могъл да има благодарение на блестящите си трудове, увереността, която той породил у Харди, била достатъчна да му осигури признание и  почести много бързо, но за беда първите признаци на заболяването на раманужан се проявили през пролетта на 1917.

     Благодарение на щедрите усилия на Харди, който направил всичко, което било по силите му, за да получи Раманужан дължимото признание, той бил избран за член на Кралското дружество в Лондон през февруари 1918. Архивите на Кралското дружество съдържат следната характеристика, с дата 18 декември 1917, на кандидатурата на Раманужан (по онова време студент по математика в Тринити колидж, Кеймбридж) за член на Кралското дружество:

Квалификация

Известен като чист математик, в частност за достиженията си в областта на елиптичните функции и теорията на числата. Автор на следните статии, измежду много други:‘Modular equations and approximations to π’, Quarterly Journal, vol. 45; ‘New expressions of Riemann’s function ζ(s) and χ(t)’,ibid, vol. 46; ‘Highly composite numbers’, Proc. London. Math. Soc., vol. 14; ‘On certain arithmetical functions’, Trans. Camb. Phil. Soc., vol. 22; ‘On the expression of a number in the form a x² + bey² + cz² + dt², Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 19.

Съавтор заедно с Дж.Х.Харди, член на Кралското дружества, на следните статии: ‘Une formulae asymptotique pour le nombre des partitions de n’, Comptes Rendus , 2 Jan.1917; ‘Asymptotic Formulae for the distribution of numbers of various types’, Proc. London Math. Soc., vol. 16; ‘The normal number of prime factors of a number n’, Quarterly Journal, vol. 47; ‘Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis’,Proc. London Math. Soc., (awaiting publication).

желаейки да стане член на КРАЛСКОТО ДРУЖЕСТВО НА ЛОНДОН, ние долуподписаните го предлагаме и препоръчваме като заслужаващ тази чест и като изглеждащ да стане полезен и стойностен член.

     Номинацията била предложена от Дж.Х.Харди и потвърдена от П.А.Макмахън.Под техните подписи стоят подписите на Дж.Х.Грейс, Джоузеф Лармор, Т.Дж.Бромуич, Е.У.Хобсън, Х.Ф.Бейкър, Дж.Е.Литълууд и Дж.У.Никълсън. Под тези 9 подписа са поставили подписите си Е.Т.Уитъкър, А.Р.Форсайт и А.Н.Уайтхед. Този сертификат е попълнен на ръка (ръката изглежда да е на Дж.Х.Харди) върху печатен формуляр на Кралското дружество, издаден в сградата на Кралското дружество на 18 декември 1917 и прочетен пред членовете на дружеството на 24 януари 1918.

     Като последствие Раманужан бил приет на 28 февруари 1918 за член на Кралското дружество в Лондон и цитираният пасаж гласял:

Шриниваса Раманужан, Тринити колидж, Кеймбридж. Студент по математика, известен като чист математик, в частност за достиженията си в областта на елиптичните функции и теорията на числата.

     Наскоро научих от проф. Р.Далиц, член на Кралското дружество, че подписът на Раманужан липсва в книгата на дружеството. Според проф. Далиц: "Книгата е с номерирани страници, което означава, че подписът просто липсва. Причината без съмнение е, че през този период той е бил болен и не е могъл да отиде до Кралското дружество да се разпише в книгата. Има и други примери на добре известни членове на Кралското дружество, които по някакви причини не са се разписали в книгата. Това означава, че той дори не е посетил нито едно събиране на дружеството - ако беше, те щяха да му донесат книгата и нямаше да го пуснат да си тръгне, без да е поставил подписа си. Разбира се това е било по време на войната, което означава, че събиранията са били колкото може по-малко."

     Раманужан бил избран за член на преподавателското тяло на Тринити колидж през октомври 1918 със специална награда от 250 лири годишно без преподаване и други задължения. През следващите години Раманужан открил едни от най-красивите теореми в математиката.

     Писмото на Харди до регистратора на Мадраския университет мистър Дюзбъри от 26 ноември 1918 [46] съдържа следната обнадеждаваща забележка: "Най-накрая съм дълбоко щастлив да кажа, че определено има промяна към по-добро. Мисля, че можем да смятаме, че той е прескочил трапа и е на път да се възстанови. Редовните покачвания на температурата му престанаха и той прибави около 14 фунта на тегло. Общото мнение на лекарите е, че е страдал от отравяне на кръвта с неясен произход, което се е прекратило, че може да се очаква той да възстанови здравето си напълно и ако всичко върви добре, доста бързо."

     Симптомите на Раманужан били най вече висока температура през нощта, загуба на тегло, водеща до отпадналост и всичко това водело до депресии, които веднъж го довели до ръба на самоубийството. Тези симптоми накарали лекарите да му поставят различни диагнози по различно време: гастрит, малария, туберкулоза, рак на черния дроб и др. В последно време, дефицитът на витамин B12 (нещо неизвестно тогава) беше предложен като възможност [47]. Възстановяването, за което Харди намеквал на Дюзбъри очевидно било причината, поради която Раманужан бил убеден да се завърне в Индия, с надеждата, че бързо ще оздравее и ще се върне, за да получи стипендията на Тринити колидж, с която бил награден.

Началото на края

     След като прекарал в Кеймбридж около 5 години, в началото на 1919, когато изглеждало, че се е възстановил достатъчно, за да предприеме продължително пътуване до Индия, Раманужан напуснал Англия на 27 февруари 1919. Четири седмици по-късно, на 27 март, той пристигнал в Бомбай и скоро след това в Мадрас, слаб, блед и отпаднал, но "с научни успехи и репутация, които не притежавал нито един индиец преди него". Проф. Харди, които изказал това мнение [48], също така се надявал, че Индия ще оцени по достойнство съкровището, което той представлява. Той изискал от университета в Мадрас да предостави на Раманужан постоянно финансиране в размер 250 лири годишно за пет години, започвайки от април 1919. Раманужан бил изпратен в Индия от Харди с надеждата, че топлият климат ще му помогне да оздравее и ще го предпази от туберкулозата.

     За нещастие крехкото му здраве не се възстановило след пристигането му в Индия. Треските започнали отново и, както съобщава съпругата му, в допълнение към тях той получил няколко силини пристъпа на болки в стомаха [49]. Раманужан бил подложен на депресии, имал предчувствия за смъртта си и бил труден пациент. Той прекарал три месеца в Мадрас, два месеца в Кодумуди и четири месеца в Кумбаконам. Когато състоянието му продължило да се влошава, след продължително убеждаване през януари 1920 той се върнал в Мадрас, за да получи качествена медицинска помощ. Въпреки грижите , които получавал от съпругата си, която се грижила за него през този период, и най-голямото внимание, с което лекарите се отнасяли към него, краят му дошъл на 26 април 1920, в Четпът, мадрас, когато Раманужан бил на 32 години, четири месеца и четири дни. Съпругата му живяла с нео, след като пораснала, само една година преди заминивинето му за Англия и го гледала по време на болестта му след неговото завръщане. Дори през тези месеци на продължително заболяване той продължил да работи, макар и на легло, с невероятно темпо и продължил да записва резултатите си. В последното си и единствено писмо до харди след завръщането си в Индия, през януари 1920 Раманужан съобщил за своя оригинална работа по така наречените от него "фалшиви" тета-функции.

     Въз основата на съществуващите сведения и ретроспективна диагноза Йънг [59] прави извода, че причина за смъртта е била хепатитната амоебиаза, тропическа болест, с която Раманужан се заразил през 1906. Обяснението му защо това не е било открито навремето може най добре да бъде представено с неговите собствени думи: "Хепатитната амоебиаза е била смятана през 1918 за тропическа болест и това създавало затруднения за успешното и диагностициране, особено в провинциални медицински центрове. Освен това потърсените лекари били специалисти по туберкулоза или гастрит. Друга голяма трудност било това, че пациент с такова заболяване не би си спомнил, освен ако не е попитан специално, за два случая на прекарана от него дезинтерия съответно 11 и 8 години преди това. Накрая, има още една причина, затруднила правилната диагноза през 1918  - поради голямата променливост на физическите симптоми хепатитната амоебиаза представлява сериозно предизвикателство за диагностичните методи и трябва да бъде отчитана като възможна за всеки пациент с треска, идващ от ендемичен район."

     Харди, който нямал представа, че краят може да настъпи толкова скоро, бил шокиран. Той смятал, че един математик често е сравнително стар на 30 години. Той писал ([50], p.71): "Галоа умря на двайсет и една години, Абел на двадесет и седем, Раманужан на тридесет и три, риман на четиридесет и аз не знам случай голямо математическо откритие, направено от човек над петдесет."

Човешки качества

     "Той (Раманужан) беше с ръст малко под средния (5 фута и пет инча) и пълен преди да отслабне от болестта, имаше голяма глава с дълга черна коса, сресана настрани над високото му чело, лицето му беше квадратно, беше гладко избръснат и цветът на кожата му, който никога не е бил много тъмен, стана по-светъл по време на престоя му в Англия; ушите му бяха малки, носът широк, а винаги блестящите му очи бяха отличителната черта, направила впечатление на рамачандра рао през 1910. Той вървеше сковано, с вдигната глава, ако не говореше, докато върви, ръцете му бяха долепени до тялото, а дланите - обърнати надолу. Но когато говореше, независимо дали върви или стои, дали е седнал или легнал, тънките му пръсти винаги оживяваха, както и изражението на лицето му."

     Горното физическо описание на Раманужан е записано от проф. Е.Х.Невил [31]. Раманужан имал само една страст в живота си - математиката. Той посветил цялото си време на тази наука и нейното развитие. Отново според проф. Невил [31], Раманужан притежавал "инстинктивно съвършенство в обноските си, което го правеше предпочитан гост или събеседник. Успехът и славата оствиха недокосната неговата естествена простота. На своите приятели той беше предан безкрайно и измисляше свои оригинални начини да покаже своята благодарност или да изрази своята обич. Забележителният математик беше наистина човек, способен да обича.

     Това е в пълно съгласие с мнението на Харди [1] за Раманужан:

     "...картината, която искам да представя пред вас, е на човек, който имаше своите странности подобно на други бележити хора, но в чиято компания човек можеше да получи удоволствие, с когото можеше да пие чай и да говори за политика или математика; накратко - не картина на източно чудо или на вдъхновен идиот или психологически измамник, но на разумно човешко същество, коете се бе оказало велик математик."

     Целосттта на личността на Раманужан ясно проличава от следното твърдение на Харди:

     "Всички ръкописи на Раманужан минаха през ръцете ми и аз много внимателно ги редактирах за публикация. Първите аз написах изцяло. Аз нямах никакъв принос за резултатите, с изключение разбира се на онези, на които бях съавтор или когато ми беше изразена специална благодарност. Раманужан винаги държеше изключително много да изрази благодарност и за най-малката помощ."

     В писмо до приятел на Раманужан през септември 1917 Харди пише [51]:

     "Той беше сериозно болен, но сега е доста по-добре. Много е трудно да бъде накаран да полага необходимите грижи за себе си; ако той правеше това, бихме могли да имаме всички основания да смятаме, че би оздравял много отдавна. В това писмо Харди споменава, че е научил, че раманужан отдавна не е писал на своите роднини, нито е получавал вести от тях. Той беше много резервиран по този въпрос и останахме с впечатлението, че има някакво скарване. Той изразил изразил своето безпокойство от проблемите, които би могло да са възникнали и искал те да бъдат изчистени."

     Раманужан бил стеснителен по темперамент и  религиозен по природа. Той бил човек с голямо чувство за хумор. Според Невил [31]:

     "Той имаше голям запас от истории и толкова обичаше да ги разказва, че във великите му дни неговият неописуем смях често поглъщаше кулминацията на разказа му."

     Научавайки при завръщането си в Индия, че правителството и университетът на Мадрас са настоявали на отиването му в Танжавур, той преиначил думата [52] Танжавур и казал, че искат да го изпратят в Тан-саву-в'р, имайки предвид своята смърт! По-късно, когато бил преместен в Четпът, той преиначил и тази дума като Ч'т-път и казал, че е изпратен на място, където всичко става "много бързо". Той не харесал също така името на сградата "Крайнант", където бил настанен в Четпът, казвайки, че "Кр"-то в думата не е добро предзнаменование и се преместил в друга сграда, "Гометра" (която била и мястото, където издъхнал на 26 април 1920).

     Раманужан бил много привързан към братята си и особено на майка си. Съпругата му си спомня [53], че той имал познания по астрология и правел астрологически предсказания, включително че няма да живее повече от 34 години. Предполага се, че понякога е правил астрологически предсказания и на други. След завръщането си от Англия той казал на съпругата си [54], че се е чувствал много щастлив, когато редакторът на The Hindu, мистър Кастуриранга Айенгар, дошъл в стаята му и опитал от пунгала, приготвен и сервиран от него. По-късно Джанакиаммал казала на неколцина от своите гости, че Раманужан бил сигурен, че неговите математически трудове ще я осигурят със средства дори след смъртта му.

     Някои приятели на Раманужан си спомнят [55], че той е имал видения, в които е виждал бъдещи събития; че бидейки горещ поклонник на бог Нарасимха, той виждал насън капки кръв (което било смятано за знак на особено благоволение от страна на бога) и че "след като виждал такива капки, пред него се явявали свитъци, съдържащи най-сложни математически формули, и онова, което той успявал да запише след като се събуди, било само част от показаното му".  

     Бабата на Раманужан по майчина линия била вярна преданоотдадена на богинята Намагири от Намакал. Самият Раманужан бил известен сред приятелите си като преданоотдаден на богинята от Намакал и казавал, че тя се явявала в сънищата му и го подтиквала да продължава работата си с нови формули.

     Проф. К.Ананда Рао бил в Кингс колидж, когато Раманужан бил в Тринити колидж и през 1962 г. съобщава [56], че:

     "По природа той беше прост, напълно свободен от преструвки, без следа от каквато и да било гордост от способностите си. Той беше доста общителен, много учтив и внимателен към другите."

     Раманужан никога не забравял, че като първороден син трябвало да поеме грижата за своите родители. Той бил състрадателен човек. Приемайки предложената му от университета стипендия, той писал на мистър Франсис Дюзбъри, ргистратор на университета в Мадрас, че в писмо [57] от 11 януари 1919 от болницата в Пътни:

     "Аз чувствам, че след завръщането ми в Индия, което се надявам да стане веднага щом бъдат уредени формалностите, паричните суми, които ще получавам, ще са много повече от онова, което ще ми бъде необходимо. Надявам се, че след като моите разходи в Англия бъдат платени, 50 лири годишно ще бъдат плащани на моите родители и че остатъка, след като бъдат посрещнати моите насъщни нужди, ще може да бъде използван за някаква образователна цел, например за намаляване на училищните такси за бедни деца и сираци и за закупувание на книги за училищата. без съмнение ще бъде възможно да се уреди нещо в тази насока след моето завръщане.

     Много съжалявам, че понеже бях болен, не бях в състояние да се занимавам толковва много с математика през последните две години, както по-рано. Надявам се, че скоро ще съм способен да работя повече и разбира се, ще дам всичко от себе си, за да заслужа помощта, която ми беше оказана."

     Раманужан завършил писмото си [58] до мистър Нараяна Айер през ноември 1915 със следните думи на благодарност:

     "Аз съм завинаги задължен на Вас и на сър Франсис Спринг за ревностния интерес към моя случай от самото начало на познанството ни."

     Бих искал да завърша тази лекция със следните за Раманужан и неговия принос (Брус Бърндт [60]):

     "В записките, оставени от Б.М.Уилсън, той разказва как Джордж Пойа бил завладян от формулите на Раманужан. Веднъж през 1951, докато пойа бил в Оксфорд, той взел от Харди назаем копие от тетрадките на Раманужан. След два дни пойа му ги върнал вече в състояние на паника, обяснявайки, че докато са у него, щял да бъде в състояние само да се опитва да докаже формулите в тах и никога нямало да има време да получи собствени оригинални резултати."

     Невил започнал своето радиопредаване в Индия през 1941 със заявлението:

     "Шриниваса Раманужан беше толкова велик математик, че името му е над всички прегради, най-великият математик, когото Индия е дала на света през последните хиляда години."

     Коментирайки теоремите в "изгубената" тетрадка, Ричард Аски казва:

     "Опитайте се да си представите ума на Раманужан, който го караше да работи непрекъснато, дори и смъртно болен, и беше толкова велик, че растеше, докато тялото му отслабваше. Аз заставам в изумление пред неговите достижения, разбирането им е над възможностите ми. Ние бихме се възхитили на всеки математик, който е направил през живота си половината от онова, което раманужан направи през последната година от своя, докато умираше."

     "Паул Ердьош ни разказва за рейтинга, който Харди дал на математиците: Нека да оценим математиците въз основа на техния талант със скала от 1 до 100. На себе си Харди дал 25 точки, на Литълууд 30, на Хилбърт 80 и на Раманужан 100."(Бърндт [60]).

Литература:

1. Ramanujan: Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work, G.H.Hardy, Chelsea, New York, 1940.

2. Collected Papers by Srinivasa Ramanujan, edited by G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar and B.M. Wilson, Chelsea, New York, 1962; first published by Cambridge Univ. Press, 1927.

3. Ramanujan: Letters and Reminiscences, Memorial Number, Vol.I, ed. P.K.Srinivasan, Muthialpet High School, Madras, 1968.

7. Srinivasa Ramanujan: A Mathematical Genius, K. Srinivasa Rao, East West Books (Madras) Pvt. Ltd., 1998.

8. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, Robert Kanigel, Charles Scribner’s Sons, New York (1991); Indian edition: Rupa & Co. (1994).

9. Ramanujan : The Man and the Mathematician, S.R. Ranganathan, Asia Publishing House, 1967.