НАУКА	Бр.8 /юни-август 2004

К. Шриниваса Рао

 Животът и трудовете на математическия магьосник

Шриниваса Раманужан

продължение от брой 7

Повратната точка

    С помощта на един свой приятел, Р.Кришна Рао, който бил племенник на Деван Бахадур Рамачандра Рао, Раманужан отишъл в Тирукойлур през декември 1910. Това било повратна точка в неговия живот. Както казва Рамачандра Рао[17]: "В изобилието на моята математическа мъдрост аз благоволих да разреша на Раманужан да се яви пред мен." По онова време Раманужан се появил пред Рамачандра Рао като

"нисък, недодялан, пълен, небръснат, единственото, с което привличаше внимание, бяха блестящите му очи, той влезе с една оръфана тетрадка под мишница. ... Той беше изключително беден. Беше напуснал Кумбаконам, за да намери в Мадрас възможност да се занимава с наука.Никога не беше жадувал за признание. той търсеше спокойствие, с други думи, да може да получава проста храна без да се напряга и да бъде оставен да мисли."

    След като Рамачандра Рао го изслушал търпеливо, той отделил няколко дни на тетрадките на Раманужан. На тяхната четвърта среща, когато Раманужан представил на Рамачандра Рао писмо от проф. Салдхана от Бомбай, признаващо оригиналността на неговите трудове, Рамачандра Рао почувствал, че трудовете на Раманужан трябва да бъдат изследвани в дълбочина от видни математици. Самият Рамачандра Рао твърди[17], че Раманужан го "завел стъпка по стъпка до елиптичните интеграли и хипергеометричните редове и накрая до своята теория за разходящите редове, непозната още на света", и това го превърнало в благодетел, който се натоварил с поемането на разходите на Раманужан в Мадрас за известно време.

    Проф. Сешу Айер също така съобщил ранните резултати на Раманужан на Списанието на Индийското математическо дружество (Indian Mathematical Society) под формата на задачи. Те се появили през 1911 и по време на своята кратка и славна кариера Раманужан предложил общо 59 задачи или решения на задачи на това списание. Първата статия от петнадесет страници, озаглавена "За някои свойства на числата на Бернули" се появила в същия том на I.M.S от 1911. В нея Раманужан формулира осем теореми, отразяващи аритметичните свойства на числата на Бернули, давайки доказателства на три от тях. Две теореми са дадени като следствия от две други, докато три теореми са дадени като хипотези. Проф. Сешу Айер пише[18]: "Методите на Раманужан бяха толкова сбити и необичайни и изложението му беше до такава степен бедно откъм яснота и прецизност, че обикновеният читател, непривикнал на такава интелектуална гимнастика, трудно би могъл да го следва."

    Раманужан живеел в малка къща, наречена "Лятната къща" на Сами Пилай стрийт, Трипликейн, Мадрас, приемайки неохотно ежемесечна финансова помощ от колектора на Нелора за около година. После той се отказал от тази помощ и от 12 януари до 21 февруари 1912 работил като служител в счетоводния отдел със заплата 25 рупии месечно. Неудовлетворен от тази работа, Раманужан кандидатствал и спечелил място в счетоводния отдел на Мадраския пристанищен тръст с помощта на мистър С.Нараяна Айер, мениджър на пристанищния тръст, който бил касиер на I.M.S. и приятел на проф. В. Рамасвами Айер и проф. П.В.Сешу Айер.

    Мистър Нараяна Айер бил добър математик и голям източник на подкрепа за Раманужан. Той не само посредничел при предлагането на Раманужан на работа в Мадраския пристанищен тръст, но също и в осигуряването за Раманужан на доживотната подкрепа на сър Франсис Спринг. Когато Раманужан живеел на Пайкрофтс роуд 580, Трипликейн, Мадрас, той се срещал с мистър Нараяна Айер и обсъждал математически проблеми.  Синът на Нараяна Айер Н.Субрахманян разказва за ролята, която неговият баща изиграл в кариерата на Раманужан [18, p.112]:

    "Баща ми, който бил доста добър математик, бил неспособен да схване стъпките в откритията на Раманужан. Той му казвал: "Тъй като аз не съм способен да разбера разсъжденията ти, аз не зная как други математици с критичен настрой биха могли да възприемат твоя гений. Ти трябва да слезеш до моето равнище и да напишеш поне десет стъпки между всеки две твои." Шри Раманужан му отвръщал: "Щом това е толкова просто и ясно за мен, защо да пиша повече стъпки?" Но по някакъв начин моят баща бавно го придумал да пише малко повече, въпреки че това много го отегчавало."

Деван Бахадур Рамачандра Рао писал за Раманужан на сър Франсис Спринг, председател на Мадраския пристанищен тръст. Той също така пробудил интерес към Раманужан у професор С.Л.Т.Грифит от инженерския колеж в Мадрас и професор Грифит на свой ред писал [19] до сър Франсис Спринг през ноември 1911 за бедния счетоводител, който бил забележителен математик, и го помолил да остави Раманужан на работа, докато се появи възможност да бъдат използвани необикновените му способности. Както вече споменахме, тези усилия дали резултат и Раманужан бил назначен като служител в счетоводния отдел на пристанищния тръст. Тази дата може да бъде смятана за повратна точка в кариерата му. Той останал на този пост в продължение на 14 месеца. По това време съпругата му се присъединила към него и Раманужан се преместил да живее на Сайва Муфиях Мудали стрийт в Джорджтаун. Този период белязал също така и началото на признанието на математическите му трудове.

    Професор Грифит писал на проф. М.Дж.М.Хил от университетския колеж на Лондонския университет за работата на Раманужан и получил отговор през декември 1912. За съжаление проф. Хил [20] не намерил време да проучи резултатите. Той отбелязал, че книгата, която би била от най-голяма полза за него, е "Теория на безкрайните редове" на Бромвик, публикувана от Cambridge University Press или Макмилан и дал съвет как Раманужан би могъл да публикува работите си. В края на този отговор, датиран 7 декември 1912, проф. Хил писал на проф. Грифит:

    "Мистър Раманужан очевидно е човек с вкус към математиката и има известни способности, но е на погрешен път. Той не разбира предпазните мерки, които трябва да се вземат при работата с разходящи редове, в противен случай той не би стигнал до неправилни резултати, като онези които ми изпращате, например:

1 + 2 + 3 + ... + ∞ = - 1/12

1² + 2² + 3² + ... + ∞ = 0

1³ + 2³ + 3³ + ... + ∞ = 1/240

    Сумите от n члена на тези редове са :

n(n+1)/2,      n(n+1/2)(n+1)/3,      [n(n+1)]²/2

и всички те клонят към ∞, когато n клони към ∞. Мисля, че ще е най-добре да му набавите книгата, която препоръчах, "Теория на безкрайните редове" на Бромуик, публикувана от Макмилан & Co., които имат клонове в Калкута и Бомбай. Цената е 15 рупии."

    Не е вярно, че Раманужан не бил наясно с явно абсурдния вид на формулите си. Във второто си писмо до Харди [22] той пише:

"Аз получих теореми за разходящите редове, теореми за изчисляване на крайни стойности, съответстващи на разходящите редове, като:

1 - 2 + 3 - 4 + ... + ∞ = 1/4

1 -1! + 2! - 3! + ... + ∞ = 0.596

1 + 2 + 3 + ... + ∞ = - 1/12

1³ + 2³ + 3³ + ... + ∞ = 1/24.

Теоремите дават стойности за всеки такъв ред, както и смисъла на тези стойности. Аз размишлявах също и над въпросите като: кога, къде и как да се използват тези стойности, къде те вършат работа и къде не?"

    Хил не успял [23] да открие източника на резултатите на Раманужан и че трите суми на целите числа, техните квадрати и кубове са всъщност стойности на ζ(-n), където n=1,2,3.

    През 1912 Раманужан публикувал две кратки съобщения, едното "По въпрос 330 на проф. Санджана" и другото "Съобщение за множество от съвместни уравнения уравнения", в списанието на IMS през 1912. Когато Раманужан се обърнал към проф. Сешу Айер с някои теореми за простите числа, вниманието му било привлечено към "Трактат за порядъците на безкрайността" от Дж.Х.Харди. В него Раманужан забелязал, че: досега не е получена явна формула за броя на простите числа, по-малки от дадено число. Раманужан казал на проф. Сешу Айер, че е открил търсения резултат. Това накарало проф. Сешу Айер да предложи този и други резултати да бъдат съобщени на Дж.Х.Харди - член на Кралското дружество и преподавател по математика в Кеймбридж, световноизвестен математик, който бил десет години по-възрастен от Раманужан.

Години на реализация

    Животът на Раманужан, според думите на Ч.П.Сноу [24] е една прекрасна приказка и би направил чест на всекиго [25]. Първото писмо на Раманужан до проф. Харди [26], с дата 16 януари 1913, е историческо. То съдържало около 260 теореми, повечето формални тъждества от Тетрадките. Очевидно те представлявали онова, което самият Раманужан смятал за най-важно. Раманужан написал:

Уважаеми господине,

Позволете ми да се представя, аз съм служител в счетоводния отдел на Мадраския пристанищен тръст със заплата 20 лири годишно. Сега съм на 23 години. Нямам университетско образование, но съм завършил училище. След като завърших училище, през цялото си свободно време се занимавах с математика. Аз не следвах обичайната система на обучение в университетите, а избрах свой собствен път. Особено усърдно се занимавах с разходящи редове и резултатите, които получих, тукашните математици наричат поразителни.

 Моля Ви да прегледате приложените материали. Аз съм беден и не мога сам да ги публикувам, но ако Вие намерите в тях нещо, което си струва да се публикува, моля Ви да го публикувате. Не Ви съобщавам нито моите междинни резултати, нито получените окончателни изрази, а само набелязвам пътищата, по които съм вървял. Тъй като съм много неопитен, ще оценя високо всеки съвет, който бихте ми дали. С молба да ме извините за причиненото безпокойство,

оставам искрено Ваш

                                   С. Раманужан.
 

        Проф. Харди, професионален математик, който усещал, че бил първото компетентно лице, което имало късмета да види нещо от неговите резултати, намерил някои от формулите за редове интригуващи, някои интегрални формули (които били класически и известни) му били познати и той могъл с известно усилие да докаже някои интегрални формули, но те били най-малко впечатляващите. Някои от формулите на Раманужан обаче очевидно били на съвсем друго ниво, едновременно сложни и дълбоки, дори Харди [27] не бил "виждал преди това нищо подобно на тях" и както той самият казал: "те ме поразиха напълно".

        Следва запис на реакцията на Харди на това историческо писмо на Раманужан, описана от Ч.П.Сноу [28]:

         "Харди хвърлил на ръкописа един повърхностен поглед и се заел с четене на сутрешния вестник. Сторило му се, че първата страница не била обичайна за смахнат кореспондент. Тя изглеждало да съдържа няколко теореми, доста странно изглеждащи теореми, без доказателства. Тогава Харди решил, че човекът би трябвало да е измамник и прилежно продължил деня си според обичайния си дневен режим, прочел лекция, след това играл тенис. Но имало нещо, което продължавало да го гложди. Всеки, който би могъл да фалшифицира подобни теореми, независимо верни или погрешни, би трябвало да е гениален измамник. Кое било по-вероятно - това да бъде гениален измамник или гениален индийски математик? Той решил да провери това след вечеря заедно със своя сътрудник Дж.Е.Литълуд, за когото Харди винаги настоявал, че е по-добър математик от самия него. Много скоро след това те вече не се съмнявали в отговора. Харди видял резултати от работата на човек, когото по вродени дарби той не би могъл да достигне и който по гениалността си, но не и по достиженията си, както харди по-късно щял да каже, бил подобен на Ойлер и Гаус.

        Харди стигнал до извода, че Раманужан би трябвало да дойде в Кеймбридж и да получи необходимото образование и възможността да общува със западни математици от най-висока класа. Затова Харди писал на секретаря, отговарящ за индийските студенти в Индия Офис в Лондон с искане да бъдат намерени средства за идването на Раманужан в Кеймбридж и той на свой ред писал през февруари 1913 на мистър Артър Дейвис, секретаря на съвета на индийските студенти в Мадрас, предавайки желанието на ръководителите на Тринити колидж да видят Раманужан в Кеймбридж."

        Сър Франсис Спринг, председател, и мистър Нараяна Айер, мениджър на Мадраския пристанищен тръст, давали на Раманужан цялата възможна подкрепа. Доктор Джилбърт Уокър, генерален директор на обсерваториите в Симла и ръководител на Индийският департамент по метеорология, посетил пристанището в Мадрас на 25 февруари 1913 и сър Франсис Спринг привлякъл вниманието му към работата на Раманужан и към неговите тетрадки. Доктор Уокър, добър математик и, завършил Тринити колидж в Кеймбридж и чел лекции там, казал, че по негово мнение мистър харди е най-компетентен да отсъди каква е стойността на трудовете на Раманужан. След като дошъл отговор от Харди (на 8 февруари 1913), Дж. Уокър писал [29] на мистър Франсис Дюзбъри, регистратор на университета на Мадрас, оценявайки работата на Раманужан като "сравнима по оригиналност с тази на математик от кеймбриджки колеж", макар да и липсвали прецизността и пълнотата, необходими за установяването на универсалната валидност на получените резултати. Той писал, че за него е напълно сигурно, че за университета "би било оправдано университетът да даде на Ш.Раманужан възможността в продължение на няколко години да отделя цялото си време на математиката, без да е необходимо да полага грижи за прехраната си." Той искал също така от университета да влезе в кореспонденция с мистър Харди от Тринити колидж в Кеймбридж, тъй като Раманужан вече си кореспондирал с него, и да увери мистър Харди, че университетът се интересува от Раманужан. Препоръката на доктор Уокър била приета от съвета по математика на Мадраския университет. Тогава заместник ректорът на университета получил съгласието да направи изключение от правилата и да даде стипендия зя няучни изследвания на раманужан, който не притежавал магистърска степен. Като предпазна мярка ректорският съвет на мадраския университет гласувал за Раманужан специална стипендия за научни изследвания от 75 рупии месечно за две години с условието, че Раманужан ще представя всяко тримесечие отчет за работата си. Мадраският пристанищен тръст дал на Раманужан две години неплатен отпуск, за да има той възможността да получава стипендията си от месец май 1913 като първи стипендиант за научни изследвания на Мадраския университет. Така започнала кариерата на Раманужан като професионален математик.

        През следващите три месеца Раманужан получил на кратки интервали четири дълги писма от Харди [30], в които последният пишел само за твърденията, доказани от Раманужан или за доказателството на които той претендирал. Той му съобщил за своята искрена загриженост да видя какво може да се направи, за да получите по-големи възможности да използвати вашите очевидни математически дарби. Най-после Раманужан намерил в лицето на Харди сродна душа, приятел, в чиито ръце можел да повери всичко, което притежавал.

        Раманужан писал отново на Харди на 27 февруари 1913 и му изпратил още формули и обяснения. на 17 април 1913 Раманужан писал на Харди за осигурената му стипендия от Мадраския университет в размер 60 лири годишно, за две години. Някъде по това време Раманужан се заселил в Ханумантараян Койл Лейн в Трипликейн и имал достъп до математическа литература в университетската библиотека. Съпругата му Джанаки и майка му дошли да живеят при него.

        Първоначално Раманужан не искал да пътува в чужбина поради предразсъдъците на кастата си, които били подсилени от крайно ортодоксалните възгледи на неговата майка, към която той бил много привързан. В началото на 1914 мистър Е.Х.Невил, млад математик от Тринити колидж в Кеймбридж, посетил Мадрас като гостуващ лектор и прочел няколко лекции по диференциална геометрия на студентите от Мадраския университет. Мистър харди го натоварил с мисията да убеди Раманужан да посети Кеймбридж. Мистър Невил посетил Раманужан и видял неговите безценни тетрадки. това му било достатъчно, за да се убеди в необичайните способности на раманужан и да го накара да поеме инициативата за преодоляването на всички трудности в организирането на посещението на раманужан в Кеймбридж. Проф. Ричард Литълхейз, който бил професор по математика към обсерваторията в мадрас представил Невил [31] на всички влиятелни лица в унимерситеета и гражданската администрация. Невил на свой ред им обяснил важността на престоя на Раманужан в Кеймбридж и ги убедил да бъдат щедри в своята подкрепа.

        В писмото [32] от 28 януари 1914 до мистър Дюзбъри, регистратор на Мадраския университет, мистър Невил написал за важнастта да се осигури на Раманужан запознаване със съвременните математически методи и контакт с хора, които знаят кои идеи са били изпробвани и кои не и предсказвал, че Раманужан ще се повлияе от този стимул и ще стане един от най-великите математици в историята и че град Мадрас и Мадраският университет ще се гордеят, че са му погнали да стигне от неизвестността до славата. На следващия ден проф. Литълхейлз също писал [33] на мистър Дюзбъри, че Раманужан е "получил стипендия от този университет в размер 250 лири стерлинги заедно със 100 лири за пътни радноски до Кеймбридж. Раманужан е човек със забележителна математическа дарба,  достигаща, бих казал, до гениалност, която, метафорично казано, е скрита в Мадрас като светилник под шиник."

        Предложението стипендията да бъде предоставена на Раманужан от Мадраския университет било прието. В рамките на една седмица било решено да бъдат заделени 10000 рупии, за да може да бъде предложена на раманужан стипендия от 250 лири годишно и 100 лири за пътуване с кораб и първоначални разходи. Сър Франсис Спринг писал на личия секретар на губернатора на Мадрас лорд Пентланд, убеждавайки негово Превъзходителство бързо да потвърди разрешението от университета. Правителствената санкция била получена в рамките на една седмица.

        Тази оферта от Мадраския университет била предложена на Раманужан през февруари 1914. Той изпратил съпругата си и майка си обратно в Кумбаконам, сменил своята обичайна браминска прическа с европейска и напуснал мадрас на 17 март 1914. Преди да самине, той уредил още 60 лири годишно от университета да бъдат изпращани на родителите му в Кумбаконам в допълнение към годишната му стипендия. Мистър Артър дейвис и проф. Литълхейлз били уредили всички детайли за пътуването на раманужан до Англия. С изключение на първите три дни, през които страдал от морска болест, Раманужан пътувал без проблеми и стигнал стикнал до лондон през Ламанша и Темза на 14 април 1914. Той бил посрещнат на кея от мистър Е.Х.Невил и брат му и останал няколко дни на Кромуел роуд преди да отиде в кеймридж на 18-ти вечерта. Той останал няколко дни в дома на мистър Невил преди да се премести в помещенията на колежа, които , макар и по-скъпи от къщите под наем, били по-удобни за него и за професорите. Раманужан писал на свой приятел, че "мистър Харди, мистър Невил и останалите тук са скромни, любезни и услужливи. Веднага след като пристигнах, мистър Харди плати 20-те лири такса на колежа и други такси и направи необходимото, за да ми уреди стипендия 40 лири годишно."

        Мистър Харди препоръчал Раманужан на Тринити колидж, който увеличил стипендията му с 60 лири годишно в допълнение на стипендията от 250 лири от Мадраския университет.

        Въпреки че Раманужан имал достъп единдствено да Синопсиса на Кер, той все пак, според историка Дж.Р.Нюман[36], "пристигнал в Англия настигнал и дори изпреварил съвременната му математика. Така, в мощен самотен устрем, той без чужда помощ успял да възстанови за себе си едно наситено полустолетие от европейската математика. Можем да се запитаме дали подобно удивително постижение е наблюдавано някога преди това в историята на човешката мисъл."

        Според мистър Харди [37], приятел на Раманужан:

        "Обхватът на неговите знания беше също толкова потресаващ, колкото дълбочината им. Той беше човек, който можеше да работи в областта на модуларните уравнения, чието майсторство в ъв верижните дроби надминаваше това на който и да било математик в света, който беше открил за себе си функционалното уравнение на дзета-функцията и решенията на множество знамените задачи от аналитичната теория на числата и никога не беше чувал за двойнопериодична функция или за теоремата на Коши и нумаше нищо друго освен най-обща идея какво представлява функцията на комплексна променлива. Всичките му резултати, нови и стари, правилни и грешни, бяха получени в резултат от смесването на доказателства, интуиция и индукция, за която той беше напълно неспособен да си даде ясна сметка."

        С такъв природен гений си сътрудничел Харди и се опитал да го научи, както той написал, "на неща, за които беше недопустимо той да остане в неведение. Беше невъзможно да го оставя да живее с мисълта, че всички нули на дзета-функцията са реални. И така, аз се опитвах да го уча, доколкото мога, макар че очевидно научавах от него много повече, отколкото той от мен."[38]

        Харди не се опиттал да превърне Раманужан в математик от съвременен тип, но го направил способен да произвежда оригинални идеи в класическа форма със строги доказателства на теоремите, които откривал.

        Периодът на престоя на Раманужан в Англия почти изцяло се припокривал с годините на Първата световна война. "Някои от преподавателите отидоха на война", писал Раманужан на свой приятел в Индия, той чувствал, че "останалите професори са изгубили своя интерес поради ... войната". Един от професорите отбелязал, че Раманужан е попаднал в Англия в най-неблагоприятното време. Преди войната студентите били около 700, но към ноември 1915 техният брой намалял до 150.

        Първоначално Раманужан търсил и се сдобил с някои индийски храни като тамаринд, кокосово масло и др., които му били изпращани с колети от къщи, както и от приятели от Лондон, но през януари 1915 той писал [23] на свой приятел в Индия, че "сега, както и за в бъдеще, аз не се нуждая от нищо и съм в съсстояние да контролирам вкуса си и мога да живея с малко ориз и малко сол и лимонов сок произволно дълъг период от време". Трудността да се намери индийска храна била облекчена от това, че били достъпни млякото и плодовете. Бидейки вегетарианец, той нямал друг избор, освен да си готви сам.

        Той посетил една лекция на мистър Бери в университета по елиптични интеграли. Мистър бели пишел някои формули на дъската и един поглед към развълнуваното лице на Раманужан го накарал да попита дали Раманужан следи лекцията и има ли да каже нещо. Тогава раманужан отишъл до дъската и за учудване на всички написал някои резултати, които още не били доказани. Този случай е разказан от доктор Махаланобис [40], изтъкнат индийски статистик, който влязъл в Кингс колидж, Кеймбридж, през октомври 1913 и слушал курс по математика при проф. Харди. Следва друга случка от живота на Раманужан, разказана от доктор Махаланобис : "Имах щастието да завържа добро приятелство с Раманужан много бързо. Това стана по доста необичаен начин. Един ден, малко след неговото пристигане, аз отидох да видя Раманужан в неговата стая в Тринити колидж. Беше станало доста студено. Раманужан беше седнал близо до огъня. Попитах го дали му е достатъчно топло през нощта. Той ми каза че е усещал студа въпреки че е спал с палтото си и също така се е завил с шала си. Аз отидох до спалнята му да видя дали има достатъчно завивки. Открих, че на леглото има вмного одеяла, всичките скънати, и покривката на леглото беше постлана върху тях. Той не знаеше, че трябва да се завие с одеялата и спеше върху покривката на леглото със своето палто и шал. Показах му как да влиза под завивките. Той беше изключително трогнат. Вярвам, че това беше причината да бъде толкова любезен към мен."

        Раманужан написал няколко статии много скоро след като пристигнал в Кеймбридж и през юни 1914 Харди представил някои от резултатите от тетрадките на Раманужан на среща на Лондонското математическо дружество. Въпреки това през януари 1915 Раманужан писал [41] на свой приятел в Индия, че тетрадките му са захвърлени в ъгъла през всичките тези 4 или 5 месеца. раманужан се интересувал повече от намирането на нови резултати и решил да публикува старите резултати от тетрадките след войната. След около година и половина в Кеймбридж Харди писал на регистратора на Мадраския университет, че Раманужан е "без съмнение най-добрият индийски математик на нашето време. Той винаги ще бъде доста ексцентричен в избора на теми и в работата по тях. Но за изключителните му дарби съмнение не може да има; в някои отношения той е най-забележителният математик, когото някога съм познавал."

        Писмото на Харди [42] и официалният отчет за университета, както и молбата на сър Франсис Спринг до университета да се продължи помощта, окозвана на Раманужан, накарали университета през декември 1915 да удължи стипендията на Раманужан до март 1919.

следва продължение

 Литература (към първа и втора част от статията):

1. Ramanujan: Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work, G.H.Hardy, Chelsea, New York, 1940.

2. Collected Papers by Srinivasa Ramanujan, edited by G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar and B.M. Wilson, Chelsea, New York, 1962; first published by Cambridge Univ. Press, 1927.

3. Ramanujan: Letters and Reminiscences, Memorial Number, Vol.I, ed. P.K.Srinivasan, Muthialpet High School, Madras, 1968.

7. Srinivasa Ramanujan: A Mathematical Genius, K. Srinivasa Rao, East West Books (Madras) Pvt. Ltd., 1998.

8. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, Robert Kanigel, Charles Scribner’s Sons, New York (1991); Indian edition: Rupa & Co. (1994).

9. Ramanujan : The Man and the Mathematician, S.R. Ranganathan, Asia Publishing House, 1967.