НАУКА	Бр.7 /май 2004

К. Шриниваса Рао

 Животът и трудовете на математическия магьосник

Шриниваса Раманужан

        Шриниваса Раманужан, признат за един от най-великите математици на този век, остави след себе си невероятно голям брой оригинални трудове, които в голям степен повлияха върху развитието и разраставането на някои от най-добрите математически изследвания на двадесетото столетие. Той е роден в Ерод [в Южна Индия - бел.прев.], на 22 декември 1887. Нищо не подсказвало, че за своя кратък живот от 32 години, 4 месеца и 4 дни той ще стане сравним със световноизвестните Ойлер, Гаус и Якоби благодарение на своята природна гениалност.

        Има два аспекта, които интересуват биографите и математиците относно Раманужан - неговият живот и неговите трудове. Математиците, които се интересуват от трудовете му, трябва да вземат под внимание не само неговите публикации в списания, които са прецизни и задълбочени, но също и неговите тетрадки, които представляват съкровищница от интригуващи резултати, дадени без доказателства и без ясна връзка със съвременната математика. Онези, които биха искали да напишат биографични статии за Раманужан, трябва да преодолеят бариерата на времето и да възстановят историята по цялата достъпна индиректна информация и за тях Харди, който пише за Раманужан[1] е нещо като Бозуел, който пише за Самюъл Джонсън. Презизвикателството за математиците, които работят върху някой от хилядите записани негови резултати, все още обвити в мистерия, е да ги докажат със средствата, които са били достъпни за Раманужан по онова време във формата на книги и публикации. В сравнение с писателя, чиято представа за Раманужан зависи от неговия опит и въображение, положението на математика е незавидно.

        Всеки, който някога е чувал за Раманужан и е чел неустоимата история за него, съдържаща се в две статии, едната от Дж.Х.Харди и другата от Деван Бахадур Р. Рамачандра Рао и П.В.Сешу Айер, публикувани в Събраните статии на Шриниваса Раманужан[2], е бил поразен от достиженията на този необикновен математически гений, осъществени въпреки всички неблагоприятни обстоятелствата. Липсата на формално образование, липсата на признание и работа в началото на неговата кариера и лошото здраве през последните години от живота му не са му попречили да бъде успешен в математиката. Това наистина не е лесно да се разбере, тъй като мнозина биха се огънали пред подобни трудности. В тези лекции аз ще разкажа за неговия романтичен живот и ще дам бегла представа за неговата математика, като я свържа с нарастващия интерес към неговите трудове и тяхната актуалност дори и днес.

            Формално образование

        Бащата на Раманужан, мистър К. Шриниваса Айенгар, бил счетоводител при един търговец на облекла в Кумбаконам. Неговата майка се казвала Комалатамал и Ерод било селището, където живеели родителите му. Той бил най-големият от тримата синове в семейството. За баща му се знае много малко и изглежда, че дори негови снимки не са запазени. Майка му била убедена във величието на Раманужан и ревностно защитавала неговите интереси през целия му живот. Описват я като проницателна и културна дама, нейна снимка може да бъде намерена в някои книги за Раманужан.

        Раманужан бил изпратен в началното училище в Кумбаконам на седемгодишна възраст. По време на своето обучение той впечатлявал своите съученици, по-големите ученици и учителите с изключителната си интуиция и поразителните си способности в някои области на математиката - в аритметиката, алгебрата, геометрията, теорията на числата и тригонометрията. Неотдавна един негов приятел, С.В.Раджагопалачари ([3], p.83), разказа следната случка, която се случила, когато раманужан бил в трето отделение: В часа па математика, когато било преподавано делението, учителят казал, че ако три банана се дадат на три момчета, всяко ще получи по един банан. Учителят обобщил тази идея и казал, че всяко число, разделено на себе си, дава единица. Раманужан попитал:

        Сър, ако нито един банан не е даден на нито един ученик, отново ли всеки ще получи банан?

        Друг негов приятел, който взимал частни уроци при Раманужан[4], също си спомня, че Раманужан се е питал за резултата от делененто на нула на нула и стигнал до отговора, че той може да бъде всичко, тъй като нулата в знаменателя може да е няколко пъти нулата в числител и обратното. Той заел първо място на изпитите в окръга Танжор през ноември 1897 и това му позволило да се обучава на половин такса в градското училище в Кумбаконам, където учил от 1898 до 1903, след което взел приемния изпит за Мадраския университет (1904).  

        Дванадесетгодишен, Раманужан работел върху свойствата на аритметичните, геометричните и хармоничните прогресии. Веднъж един по-голям ученик [3] поставил на Раманужан следната задача:

Ако  √x+y=7 и √y+x=11, какви са стойностите на х и у?

        Незабавният отговор на Раманужан на този въпрос бил х=9 и у=4, и този отговор му спечелил приятел, който години по-късно го завел при колектора на Нелора.

        Главният учител по математика в училището, Ганапати Субайер, имал такова доверие в способностите на Раманужан, че на следващата година след постъпването му възложил подготвянето на разписанието [5] на часовете в училището, което имало 1500 ученици и над 30 учители. Раманужан спечелил награди за забележителното си представяне в математиката и овладял втората част на "Тригонометрията" на Лони през четвъртата си година в училището. Той спечелил много награди[6] през втората, четвъртата и шестата година.

        За да увеличи семейните приходи, майката на Раманужан взела двама квартиранти - студенти от Тирунелвели Тиручирапали. Забелязали ранното развитие на Раманужан в математиката, тези студенти тези студенти изглежда да са му дали елементарно въведение във всички области от матеметиката. През 1903, чрез свои приятели от Правителствения колеж в Кумбаконам, Раманужан получил книгата на Дж.С.Кер "Обзор на основните резултати, книга по чиста математика", която съдържала твърдения, формули и методи за анализ с изпуснати примери и доказателства, публикувана през 1886 г.

        В книгата си Кер представял без доказателства 4865 формули [7, p.3] от алгебрата, тригонометрията, аналитичната геометрия и анализа. Тази книга е подобна на съвременните компилации от типа на "Таблици на интеграли, редове и произведения" от Градщайн и Рижик (Table of Integrals, Series, and Products, by I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik (Academic Press, New York, 1994)). Професор П.В.Сешу Айер и мистър Р.Рамачандра Рао в техните биографии на Раманужан [2] твърдят, че:

        "Именно тази книга пробудила неговия гений. Той започнал сам да извежда формулите, дадени в нея. Тъй като не използвал други книги, всяко решение било част от изследване, отиващо толкова далеч, колкото бил заинтересуван."

        Мнозина считат (вж. Канигел[8], стр.57), че като доказвал една формула, той откривал много други, и по този начин Раманужан открил за себе си основите на висшата математика. Също по това време той започнал да записва резултатите си в тетрадки.

        Първото обществено признание на изключителните му способности дошло, когато бил награден със специалната награда на името на Шри К. Ранганатха Рао - на годишната церемония на раздаването на награди в градското училище през 1904 г., за вещина в математиката. Раманужан взел приемния изпит през 1904 г. и влязъл в Държавния колеж по изкуствата в Кумбаконам. В резултат от успеха си на изпитите по математика и английски език си осигурил стипендията Субрахманям. През първата година Раманужан изучавал английски, санскрит, матемтика, физиология и история на Рим и Гърция. Отчасти поради прекалената си заетост с математически изследвания, той пренебрегвал изучаването на други предмети. Той отишъл при своя преподавател по математика с множество оригинални и изящни резултати в областта на крайните и безкрайните редове. Професор П.В.Сешу Айер го поощрил, но го посъветвал да не пренебрегва изучаването на останалите дисциплини. За съжаление Раманужан не успял да вземе изпитие по английски и физиология и поради това не могъл да запише следващата година през януари 1905. Той загубил стипендията си. Майка му, която играела доминираща роля в живота му, се опитала да убеди директора на колежа да вземе под внимание необичайните математически способности на Раманужан и да бъде продължена стипендията му, но нямала успех.

        Неуспехът на Раманужан  да премине в следващия курс отбелязал началото на много мъчителен период в живота му. Не е известно с какво се е занимавал, след като прекъснал обучението си и прекарал няколко месеца в областта Андхра Прадеш, закъдето заминал, за първи път напускайки Кумбаконам. Той влязъл в колежа "Пачаяпа" в Мадрас, отново за първа година, през 1906. Един от състудентите му, Т. Девараджа Мудалиар ([9], p.63 and p.65), си спомня, че професорът по математика П.Сингаравелу Мудалиар, много ценен в колежа поради репутацията си на много успешен преподавател, използвал помощта на Раманужан за решаването на трудни задачи от математически списания. Той си спомня също, че преподавателят на студентите първа година, професор Н.Рамануджачари, разрешавал на Раманужан да показва на дъската решения на трудни задачи по алгебра и тригонометрия, използвайки по-малък брой стъпки от използваните от него. По-големите студенти също търсели помощта на Раманужан по математика[10].

        Раманужан, който бил строг вегетарианец, вероятно е бил отвратен от дисекцията на жаби в часовете по физиология. веднъж на въпрос за храносмилателната система той дал незодовлителен отговор, който завършил с думите[11]: "Сър, това е моят несмлян резултат от главата за храносмилането. Моля да ме извините." Друг негов състудент от колежа "Пачаяпа" си спомня [12], че Раманужан рядко имал повече от 10 слаби оценки и получавал малко повече - 15% до 20% по гръцка и римска история, но до 25% по английски. Задачите от учебниците по геометрия, алгебра и тригонометрия обаче той решавал наум[12].

        През 1906 г., докато учел в колежа "Пачаяпа", Раманужан живеел с баба си в къща на една тясна уличка в Джорджтаун, Мадрас. След около три месеца той се разболял и прекъснал обучението си. Явил се обаче на изпитите през 1907 г. Въпреки че имал отличен по математика, не успял да вземе останалите изпити. Това бил и краят на неговото формално образование.

        Години на изграждане

        Периода от 1907 до 1912 г. Раманужан прекарал в интензивно търсене на благодетел и започнал да общува с хора, които биха могли да му помогнат в търсенето на работа, която да осигури прехраната му. Той останал в мадрас до края на формалното си образование през 1907 г. Според Харди:

        "Годините между осемнадесетата и двадесет и петата са критични за кариерата на един математик. През тези пет нещастни години (1907-1912) неговият гений бил насочен в погрешна посока, отклонен от целта и в известна степен изкривен."[1]

            Въпреки недостига на средства и напреженията от съществуването ден за ден Раманужан започнал да записва математическите си резултати в тетрадки. Към 1909 г. тетрадките били най-скъпото, което притежавал. Един от състудентите му твърди[13], че когато Раманужан се разболял през 1909, докато живеел в Джорджтаун, в Мадрас и по съвет на лекаря бил изпратен в дома на родителите си в Кумбаконам, Раманужан му поверил тетрадките си за съхранение и казал: Ако умра, моля да ги занесете на проф. Сингаравелу Мудалиар или на английския професор Едуард Б. Рос от Мадраския Християнски колеж.

       Друг състудент на Раманужан [14] си спомня, че по време на обучението в колежа Раманужан го научил на метод за конструиране на магически квадрати, предмет на първата част от неговите тетрадки. Интересът към този предмет датира от неговите училищни години и той не е свързан със записаното в останалата част от тетрадките. Вероятно опитът в съставянето на разписания за чосавете в училище е вдъхновил Раманужан да изучава магическите квадрати.

        През този период започнали достиженията на Раманужан в областта на верижните дроби и разходящите редове. Годежът му за 8-годишната Джанаки бил през 1908, а сватбата се състояла близо до Карур през 1909 г. Роберт Канигел[8] в своята биография на Раманужан дава едно ярко описание на тази сватба, организирана от неговата майка Комалатамал без одобрението на баща му и драматизира предзнаменованието за предстоящо нещастие по време на предсказанията, предшестващи сватбата, която била на ръба на провала поради късното пристигане на роднините на младоженеца.

        През този период той давал частни уроци по математика на неколцина студенти и дори си търсел работа като учител по математика. разочарован от липсата на признание, по онова време Раманужан се оплаквал на свой приятел[4], че вероятно е орисан да умре в бедност подобно на Галилей. За щастие не станало така.

        През 1910 Раманужан потърсил покровителството на професор В.Рамасвами Айер - основателя на Индийското математическо дружество, който живеел в Салем, и потърсил работа като служител в неговия офис. Единствената препоръка на Раманужан били неговите тетрадки, които към този момент съдържали редица резултати по магически квадрати, прости числа, безкрайни редове, разходящи редове, числа на Бернули, зета функция на Риман, хипергеометрични редове, верижни дроби, елиптични функции, модуларни уравнения и др. Един бегъл преглед на първите тетрадки бил достатъчен да убеди професор Рамасвами Айер, че раманужн е надарен математик и той нямал намерение да задушава неговия (на Раманужан) гений с работа на най-ниските стъпала на данъчния отдел. Затова той изпратил раманужан обратно в Мадрас с препоръчително писмо до професор П.В.Сешу Айер, който по това време бил в Президенси колидж в Мадрас. Проф. Сешу Айер, който познавал Раманужан като студент в Държавния колеж по изкуствата в Кумбаконам от времето, когато той самият работел там като преподавател по математика, го срещнал отново след четири години и бил впечатлен съдържанието на достигналите значителен обем тетрадки. Той дал на Раманужан препоръчително писмо до оня истински любител на математиката, Деван Бахадур Р. Рамачандра Рао, който по онова време бил окръжен колектор на Нелора.

следва продължение

 Литература (към първата част от статията):

1. Ramanujan: Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work, G.H.Hardy, Chelsea, New York, 1940.

2. Collected Papers by Srinivasa Ramanujan, edited by G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar and B.M. Wilson, Chelsea, New York, 1962; first published by Cambridge Univ. Press, 1927.

3. Ramanujan: Letters and Reminiscences, Memorial Number, Vol.I, ed. P.K.Srinivasan, Muthialpet High School, Madras, 1968.

7. Srinivasa Ramanujan: A Mathematical Genius, K. Srinivasa Rao, East West Books (Madras) Pvt. Ltd., 1998.

8. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, Robert Kanigel, Charles Scribner’s Sons, New York (1991); Indian edition: Rupa & Co. (1994).

9. Ramanujan : The Man and the Mathematician, S.R. Ranganathan, Asia Publishing House, 1967.