НАУКА	Бр.3 /януари 2004

Книгата на Томас Тейлър "Теоретичната аритметика на питагорейците" е публикувана за първи път в Лондон през 1816г. Преиздадена е, с предговор от Менли Хол, от Феникс Прес, Калифорния, 1934. По-късно е преиздавана през 1972, 1975, 1978, 1983 г. Настоящият откъси са преведени по текста в изданието от 1983 г.

Томас Тейлър

ТЕОРЕТИЧНАТА  АРИТМЕТИКА НА ПИТАГОРЕЙЦИТЕ

Книга Първа

Въведение

    Ако философията, така подходящо наречена, е, както казва Платон, най-великото добро някога дадено на човека от боговете[1],  в което аз съм дълбоко убеден, то този, който се труди, за да я извади от забвение и предаде на поколенията, трябва неминуемо да облагодетелства в най-голяма степен страната си и цялото човечество.  Да успея в това голямо дело е било мой стремеж през по-голямата част от живота ми и тази книга е написана с цел да се доведе това начинание по-близо до осъществяването му.

    Като следствие от забравата, в която поради унищожаването на школите наистина е изпаднала автентичната философия, математическите дисциплини са изучавани днес повече с цел нуждите и удобствата на животинското съществуване, отколкото за доброто на интелекта, в което лежи нашето истинско съществуване и щастие.  Така Питагоровата загадка – “фигура  и стъпка, но не фигура и три обола[2]”, е напълно изопачена. Понеже цялото внимание на тези, които я прилагат към математиката, е насочено върху оболите, а не към стъпките нагоре, така техните представи са се влачели пълзейки там, където е трябвало да се извисяват стремително. Поради същата причина и великото око на душата е било ослепено и погребано, въпреки че, както Платон елегантно отбелязва, “то се пречиства и съживява при подходящо изучаване на тези науки и си заслужава да се запази повече от хиляда телесни очи, защото истината се вижда само чрез него.”

    Това мнение особено важи за Теоретичната Аритметика, изучаването на която е почти напълно пренебрегнато за сметка на практическата аритметика, която, въпреки че е подчинена на вулгарното удобство и е неизбежно необходима в бакалията и счетоводната къща, не е в никой случай създадена да пречиства, усилва и осветлява съзнанието, да го извисява от рационалния към интелектуалния живот и така да допринася за най-истинското и възвишено добро у човека. Дори и при геометрията, която е частично изучавана в “Елементите” на Евклид, това се прави с цел да се добие знание за другите части на математиката, които зависят от нея, като астрономията, оптиката, механиката и пр., или поради желанието да се стане добър измервач, зидар, земемер и подобните им без да се има и смътна представа за нейното първо и най-важно значение – да се даде възможност на нейния последовател да премине, като по мост над тъмно море, през мъглявината на материалния свят до сияйните области на съвършената реалност. Или както Платон елегантно се изразява: “да ги преведе от сумрачния ден на невежеството до истинското извисяване в нетлесното съществуване, което е и истинската философия”[3]. Казвам, че геометрията е само частично изучавана, защото десетата книга на Евклид, която е върху несъизмеримите величини, и 13-тата, 14-тата и 15-тата книга, които се отнасят до петте правилни тела, въпреки че са изпълнени буквално с най-интересна информация , все пак са в по-голямата си част мизерно пренебрегнати, поне в тази страна[4], защото те нито спомагат за развитието на търговията, която е вече така развита, нито допринасят към по-нататъшното задоволяване на страстите или неограничено натрупване на богатство.

    Ако математическите науки и в частност аритметиката и геометрията, бяха били изучавани по този непълен и позорен начин от мъдрите гърци, те никога не биха родили един Евклид,  един Аполоний или един Архимед, хора довели геометрията до височините на научно съвършенство и чиито работи, като останалото гръцко изкуство, са моделът, въз основа на който непросветеният гений на модерното време се развива до предела на математическите си способности, каквито и да са те. Съдейки по това, което казва за Евклид, Нютон,  убедил се в това твърде късно,  е започнал математическата си кариера само с частично изучаване на тези герои на геометрията. “Защото той се изказва със съжаление”, казва доктор Хътън[5], “за грешката си в началото на математичните си занимания да изучава работата на Декарт и други алгебрици[6] преди да е изучил “Елементите” на Евклид с онова внимание, което такъв отличен автор заслужава....”

...

Глава ХІV

Друго разделение на четните числа според това дали са съвършени, несъвършени (непълни) или свръхсъвършени (препълни).

    Отново, четните числа могат да се разделят по следния начин. Някои от тях са препълни, а други непълни в зависимост от посоката на неравенството, тъй като всяко неравенство се разглежда в смисъл на нещо по-голямо или по-малко. Препълните числа са такива поради прекомерното изобилие, с което техните части – мярка за същността им, надхвърлят самите числа. В противоположност, непълните числа, бидейки бедни, са такива, които сумата от техните части ги надхвърля. И действително, препълни са числа като 12 и 24, защото са надхвърлени от сбора на техните части, тъй като половината на 12 е 6, една трета е 4, една четвърт е 3, една шеста е 2 и една дванадесета е 1, целият сбор на които се равнява на 16, което е по-голямо от 12. Подобно, половината на 24 е 12, третината е 8, една четвърт е 6, една шеста част е 4, една дванадесета част е 2 и една двадесет и четвърта част е 1, сумата на всички които е 36. Тук също така лесно се вижда, че сумата на отделните части е по-голяма от самото число и го надхвърля значително. И така това число, чиято сума от частите му го надхвърля, се нарича препълно. В противоположност, онова число се нарича непълно, сумата от частите на което е надхвърлена от самото число. Подобни числа са 8 и 14, защото половината на 8 е 4, една четвъртина е 2 и една осмина е 1 и цялата сума е равна на 7 – число по-малко от 8. По същия начин една втора от 14 е 7, една седма част е 2 и една четиринадесета част е 1 и цялата сума на частите е 10 – сума по-малка от цялото число.  Такива следователно са тези числа, че първите, в следствие от това, че сумата от частите им ги надхвърля, наподобяват някого роден с множество ръце, отличаващ се от естествения ред на природата, като сторъкия гигант Бриарей[7],  или някого, чието тяло е съставено от три тела, като тройния  Герион[8] или която и да е друга рожба на природата, която се  смята за чудовищна поради множеството на частите си.  Вторите числа наподобяват някого, който е роден с липсваща важна част, подобно на  еднооките Циклопи или с друга липсваща част.

     Между тези числа обаче, както между неща еднакво неумерени, на числото, което е наречено съвършено, му е дадено качеството на граница по средата и в този смисъл то наподобява добродетелта, защото не е нито удължено чрез ненужна прогресия, нито отслабено чрез съкращение, а притежавайки качеството на среда и бидейки равно на сумата от частите си, то нито прелива от изобилие, нито страда от бедност. От  този вид са числата 6 и 28, тъй като половината на 6 е 3, третината – 2 и шестината – 1 и ако така разделените му части бъдат събрани ще се равняват на самото число. По същия начин половината на 28 е 14, една седма част е 4, една четвърт – 7, една четиринадесета – 2 и една двадесет и осма част е 1, сумата на които е 28.

     Не бива също така да пропуснем да отбележим, че всички кратни на съвършено число са свръхсъвършени, докато всичките му подчасти са несъвършени числа. Така например, 3 е половината на 6 и е непълно число, но 12 е два пъти по 6 и е препълно. Така също 2 е третината на 6 и е непълно, но 18 е три пъти по 6 и е препълно, и така нататък за всички подчасти и кратни на съвършено число. По този начин се вижда, че съвършеното число е също и средното геометрично на препълно и непълно число. Между числата 3, 6 и 12, 6 е средното геометрично на 3 и 12, защото 6 се отнася към 3 така както 12 към 6. Така също и 28 е средното геометрично на 14 и 56, първото от което е непълно, а второто препълно.

     Съвършените числа следователно са прекрасни изображения на добродетелите, които са определена среда между излишеството и недостатъка, а не край, както някои от древните са предполагали. И действително, едно зло е противоположно на друго зло, но двете са противоположни на едно добро. Доброто обаче никога не е противоположно на добро, а на две злини едновременно.  Така плахостта е противоположна на дързостта, общото между които е липсата на истинска смелост и противоположното на двете е духовната сила. По същия начин хитрината е противоположна на глупостта, общото между които е липсата на ум и противоположното на двете е благоразумието. И още, разточителството е противоположно на скъперничеството, общото между които е тесногръдието и противоположното на двете е щедростта,  и така нататък с останалите добродетели, чрез което се вижда как съвършените числа наподобяват добродетелите. Но съвършените числа наподобяват последните и по друга причина. Бидейки малочислени  те са рядко срещани и са подредени в определен ред. От друга страна, препълните и непълните числа са многочислени и  нямат определен ред и така наподобяват много пороците, които са многобройни, неподредени и безкрайни.

Глава ХV

     За това как се получават съвършените числа и за тяхната прилика с добродетелта.

     Поради оскъдността на съвършените числа, има само едно такова между 1 и 10, това е 6, едно между 10 и 100, което е 28, едно между 100 и 1000 – 496, и едно между  1000 и 10000 – 8128. Тези числа също винаги завършват на 8 или 6[9] както се вижда от споменатите примери.

     Генерирането на тези числа обаче е определено и фиксирано и може да се определи само по един единствен начин. В прогресията съставена от степени на двойката, първият член се добавя към втория и ако така полученото число е просто, то то се умножава с втория член и продуктът е съвършено число. Ако обаче числото, което се получава чрез събиране на първия и втория член, не е просто число, то трябва да се пропусне и към него да се добави следващия член от прогресията. И ако и тази сума не е просто число, към нея се добавя следващ член и така нататък докато сумата от членовете не се окаже просто число. Когато се достигне до просто число, то то се умножава с последния член от прогресията, който е бил прибавен към сумата. Така например, в редицата от степени на двойката: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ако 1 се добави към 2, сумата е 3, което е просто число и следователно се умножава по 2 и се получава съвършеното число 6. Следващото съвършено число обаче се получава по следния начин. Събират се числата 1, 2 и 4, чиято сума е 7, което е просто число, и се умножава по 4, което е последното прибавено число, и така се получава съвършеното число 28. Тъй като по този начин се намират първите две съвършени числа, останалите трябва да се изследват по същия начин. Така, за да се намери поредното съвършеното число, се събират 1, 2, 4 и 8, чиято сума е 15. Последното число обаче не е просто, тъй като се дели на 3 и 5, и следователно  трябва да се пропусне и следващата степен на двойката от редицата, т.е. 16, да се добави към сумата, която така е равна на 31, което е просто число. Тогава то се умножава по 16 и се получава 496, поредното съвършенот число. Единицата трябва да се счита за просто число, тъй като поради природата си се дели на 1 и на себе си. Също така, се равнява на сумата от частите си, т.е. 1. Следвателно единицата е съвършено число поради самата си природа и запазва стойността си непроменена, когато се умножи със себе си.

    Начинът, по който съвършените числа се пораждат, може незабавно да се види от следващата таблица.

    Звездичките отбелязват, че сумата от степените на двойката не е просто число и следователно е неподходяща за пораждането на съвършено число.

Глава ХХХІІІ

 За приятелските числа

    В труда си “За аритметиката на Никомах” Ямблих отбелязва на стр. 47, че “определени числа са наричани приятелски от онези които придават на числата добродетели и елегантни навици.” Той добавя, че “284 и 220 са такива числа, тъй като сумата от частите на едното се равняват на другото поради приятелската си природа, както е било показано от Питагор. Когато някой го попитал какво представлява приятелят, той отвърнал, друго аз, както и става при тези числа.” И той завършва като ни казва, че “ще обсъди където му е мястото какво е имал предвид Питагор по отношение на тази най-чудесна и елегантна теория”. За съжаление обаче, тази тема не е подновена в споменатата по-горе творба, нито в коя да е друга запазена работа. И единственият автор, с когото съм запознат, който е писал с повече подробности за тези числа е Озанам[10], който в своите Математически Забави на стр. 15 отбелязва следното: “ двете числа 220 и 284 се наричат приятелски, тъй като първото се равнява на сумата от частите на второто, т.е. 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. И сътветно, второто число 284 е равно на сумата от частите на първото, т.е. 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.”

     “За да се намерят всички приятелски числа поред, трябва да се използва числото 2, което има такова свойство, че ако се вземе единица от 6 – неговото тройно, от 12 – неговото шесткратно, и от 72, което е произведение на квадрата му с числото 18, остатъците са простите числа 5, 11 и 71, от които като се умножат 5 и 11 ще произведат 55, което умножено по 4, двойното на две, ще даде 220, което е първото от търсените две числа. И за да се намери второто, 284, трябва само да се умножи третото просто число 71 по 4, отново двойното на две, което е използвано преди. “

     “За да се намерят други две приятелски числа, вместо числото 2 трябва да използваме една от неговите степени, която притежава същите свойства, като куба му – числото 8. Понеже ако се извади единица от 24 – неговото тройно, от 48 – неговото шесткратно, и от 1152, което е произведение на  квадрата му с 18, остатъците са трите прости числа 23, 47 и 1151, от които първите две умножени дават 1081, което като се умножи със 16, двойното на 8, дава 17296 – първото от приятелските числа, които се търсят. И другото приятелско число, което е 18416, се намира като се умножи третото просто число 1151 със 16, отново двукратното на 8.”

     “Ако се търсят още други приятелски числа, вместо 2 или 8 трябва да се използва квадрата на куба на 2, което притежава същото свойство и ще даде като резултат нови две приятелски числа.”

     Толкова от Озанам. Двете приятелски числа получени така от 64 са 936584 и 9437056, като трите прости числа използвани са 191, 383 и 73727.

Глава ХХХVІ 

За несъвършено приятелските числа  

        Несъвършено приятелски са числата 27 и 35, 39 и 55, 65 и 77, 51 и 91, 95 и 119, 69 и 133, 115 и 187, и 87 и 247. Понеже частите на 27, което е 3 по 9, са 1, 3, 9, чиято сума се равнява на 13, което е също равно на сумата от частите на 35, което е произведение на 5 и 7.

     Частите на 39, което е равно на 3 по 13, са 1, 3 и 13 и сумата им се равнява на 17. Толкова е и сумата на 1, 5 и 11 – частите на 55, което е произведение на 5 и 11.

     Частите на 65, произведение на 13 и 5, са 1, 5 и 13. Частите на 77 са 1, 7 и 11; сумата и в двата случая е равна на 19.

     Частите на 51, произведение на 17 и 8, са 1, 3 и 17. Частите на 91, произведение на 13 и 7, са 1, 7 и 13; сумата и на двете е 21. И така за останалите числа.

     Сумите от числата, чието произведение дава тези несъвършени приятелски числа, са 12, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 32, и т.н., при които разликата между първото и второто е 4, между второто и третото, и третото и четвъртото е 2. По-нататък, отново разликата между четвъртото и петото число е 4, а тази между петото и шестото, и шестото и седмото е 2. Така разликите са 2, 2, 4, 2, 2, 4 и т.н.

     Доколкото ми е известно, числа от този вид не са отбелязвани от автори на трудове по аритметика. Аз ги наричам несъвършено приятелски, защото докато при две съвършено приятелски числа, сумата на частите на едното се равняват на другото число, то при тези сумата на частите на едното се равнява на сумата на частите на другото и едновременно е по-малка от двете числа. Докато при съвършено приятелските числа следователно частите на едното обхващат изцяло, така да се каже, другото число, то при тези, частите на едното не обхващат изцяло другото, а само една негова част, защото сумата им е недостатъчна.

    Така, измежду числата, които са непълни, т.е. сумата от частите им е по-малка от самите числа, се намират множество двойки, които имат една и съща сума от частите си. Но при препълните числа, т.е. чиято сума от частите им е по-голяма от самите числа, такива несъвършено приятелски числа са много редки. Така между 12 и 144 има само две числа с една и съща сума от частите им  и тези числа са 80 и 104, като сумата от частите им е 106.

     Както съвършено приятелските числа илюстрират съвършеното приятелство, което съответно се основава върху добродетелта, така тези числа олицетворяват  приятелството, което съществува между несъвършени характери – едните, чиито части не надминават цялото, изобразявайки приятелството между характери недостигащи до средата, където се намира истинската добродетел, и другите, чиито части надминават цялото, представлявайки образа на приятелство между характери отвъд тази среда. И подобно на несъвършените характери от двете страни на златната среда, тези, които я надминават, са по-близки до добродетелта, отколкото онези, които не я достигат, и така бидейки по-близо до добродетелта те са по-добри, и съотвено се намират и по-рядко. В допълнение, двойките числа, чиито части са по-малки от самите числа, са далеч по многочислени от онези, чиито части ги надхдвърлят.